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Pour obtenir ce résultat inattendu, commençons par rappeler que nous utilisons le calendrier grégorien. Ce calendrier doit son nom au Pape Grégoire XIII qui l’instaura en 1582, en décrétant que le 4 octobre 1582 serait suivi par le 15 octobre 1582. Cette décision devait corriger le calendrier julien (nommé ainsi en l’honneur de Jules César) qui était alors devenu décalé par rapport aux astres. Le calendrier grégorien précise les années bissextiles par trois règles :

1. les années divisibles par 4 sont des années bissextiles (par exemple 1976 était une année bissextile)
2. les années divisibles par 100 ne sont pas des années bissextiles (par exemple 2100 ne sera pas une année bissextile)
3. les années bissextiles divisibles par 400 sont des années bissextiles (par exemple 2000 était une année bissextile)

Ceci a une conséquence importante : le calendrier grégorien se répète précisément tous les 400 ans, puisque le nombre de jours dans 400 années grégoriennes est de (3 x 365 + 366) x 100 – 3 soit 146 097 ce qui représente exactement 20871 semaines.

Introduisons maintenant la formule de Gauss :

Appelons j le jour de la semaine (avec j = 1 pour lundi, j = 2 pour mardi, etc …)

Appelons d la date (avec d = 1 pour le premier du mois, d = 2 pour le deuxième jour du mois, etc …)

Appelons m le mois (avec m = 1 pour janvier, m = 2 pour février, etc …)

Appelons a l’année, donnée en un nombre à 4 chiffres,

Appelons s le siècle, donné en nombre à 2 chiffres (s = E(a/100) c’est-à-dire la partie entière de a/100),

Appelons g le nombre à deux chiffres qui donne l’unité et les dizaines de l’année (soit g = a – 100s, avec g = 00 ou 01 ou 02 ou … 99)

Associons le mois m à la variable e selon le tableau ci-dessous ; associons encore le siècle s à la variable f selon le tableau ci-dessous ; et citons une dernière règle :

Si m est égal à 1 ou à 2 alors a est remplacé par a – 1 dans la détermination de s et g.

Rappelons que s[4] se lit s modulo 4.

Maintenant que les prémisses sont posées, énonçons la formule de Gauss :

j = d + e + f + g + E(g/4) modulo 7

Mais prenons un exemple: la rentrée 2012 est prévue le 4 septembre 2012. Si nous utilisons la formule de Gauss, nous avons : d = 4, m = 9, puis avec le tableau e = 4, a = 2012 soit s = E(2012/100) = E(20,12) = 20 donc avec le tableau f = 0 ; g = 12 ; E(g/4) = E(3) = 3 soit finalement

j = 4 + 4 + 0 + 12 + 3 modulo 7 = 23 modulo 7 = 2 modulo 7 donc le 4 septembre 2012 est un mardi.

Voilà ! Nous pouvons maintenant déterminer quel jour correspond à une date donnée et il ne reste plus qu’à compter les lundi, mardi, … pour tous les 13 du mois, sur une période de 400 ans. Le décompte est donné dans le tableau suivant :

Décompte des jours de la semaine pour chaque 13^ème du mois sur une période de 400 ans :

Et nous avons le résultat : il y a plus de vendredi 13 que de lundi 13, mardi 13 etc …

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